Вопрос школьника
Докажите, что отношение квадратов катетов прямоугольного треугольника равно отношению их проекций на гипотенузу.
Ответ от учителя
Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC — катеты, а AC — гипотенуза. Пусть также точка D — проекция точки B на гипотенузу AC.
Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Также, по определению проекции, имеем:
BD^2 + CD^2 = BC^2
Но BD = AB, так как они являются проекциями одной и той же точки на одну и ту же прямую. Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
AB^2 + CD^2 = BC^2
Делим обе части на AC^2:
AB^2/AC^2 + CD^2/AC^2 = BC^2/AC^2
Но AB/AC = sin(C) и CD/AC = sin(A), где A и C — углы треугольника при вершинах A и C соответственно. Также, по теореме синусов, имеем:
BC/AC = sin(B)
Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
sin^2(C) + sin^2(A) = sin^2(B)
Что и требовалось доказать.
