Вопрос школьника
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться свойством параллелограмма.
Рассмотрим тетраэдр ABCD и соединим середины противоположных ребер: M — середина AB, N — середина CD, P — середина BC, Q — середина AD.
Так как AM и CD, BN и AD, CP и AB являются диагоналями параллелограммов AMDC, BAND, CPAB соответственно, то они делятся пополам.
Также из свойств параллелограмма следует, что диагонали параллелограмма делятся пополам.
Следовательно, точки пересечения отрезков MP и NQ лежат на одной прямой и делятся пополам.
Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
