Вопрос школьника
Докажите, что отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный её основаниям и равный их среднему геометрическому, разбивает эту трапецию на две подобные трапеции.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AB и CD, боковыми сторонами AD и BC и высотой h. Пусть отрезок EF параллелен основаниям AB и CD и равен их среднему геометрическому, то есть EF = √(AB × CD).
Так как EF параллелен основаниям, то он делит трапецию на две части: трапецию AEFB и трапецию ECFD.
Для того чтобы доказать, что эти две трапеции подобны, нужно показать, что их соответствующие стороны пропорциональны.
Рассмотрим трапецию AEFB. Её боковые стороны AE и BF равны, так как они являются боковыми сторонами трапеции ABCD. Высота трапеции AEFB равна h, так как она перпендикулярна основаниям AB и EF.
Рассмотрим трапецию ECFD. Её боковые стороны EC и FD равны, так как они являются боковыми сторонами трапеции ABCD. Высота трапеции ECFD равна h, так как она перпендикулярна основаниям CD и EF.
Таким образом, мы видим, что трапеции AEFB и ECFD имеют равные высоты и равные боковые стороны. Осталось показать, что их основания пропорциональны.
Основания трапеции AEFB равны AB и EF. Основания трапеции ECFD равны CD и EF. Мы знаем, что EF = √(AB × CD), поэтому AB/CD = EF²/CD².
Таким образом, мы видим, что соответствующие стороны трапеций AEFB и ECFD пропорциональны, а значит, эти трапеции подобны.
