Вопрос школьника
Докажите, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника ABC, равен половине периметра треугольника ABC.
Ответ от учителя
Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон: P(ABC) = AB + BC + AC.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середину одной стороны с серединой противоположной стороны. Пусть M, N и P — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Тогда средние линии треугольника ABC — это отрезки MP, NP и MN.
Для доказательства того, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника ABC, равен половине периметра треугольника ABC, нужно доказать, что длины отрезков MP, NP и MN равны половине длин соответствующих сторон треугольника ABC.
Рассмотрим отрезок MP. По определению, он является средней линией треугольника ABC, а значит, делит сторону AC пополам. То есть, AM = MC. Аналогично, можно доказать, что BM = MC. Значит, AM = BM = MC.
Таким образом, отрезок MP является медианой треугольника ABC, и его длина равна половине длины стороны AC: MP = 1/2 AC.
Аналогично, можно доказать, что длины отрезков NP и MN равны половине длин соответствующих сторон треугольника ABC: NP = 1/2 AB и MN = 1/2 BC.
Тогда периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника ABC, равен сумме длин отрезков MP, NP и MN:
P(MNP) = MP + NP + MN = 1/2 AC + 1/2 AB + 1/2 BC = 1/2 (AB + BC + AC) = 1/2 P(ABC).
Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника ABC, равен половине периметра треугольника ABC.
