Вопрос школьника
Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AB, является средней линией треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольника и свойствами перпендикуляров.
Пусть точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD обозначена как O, а точка пересечения перпендикуляра из O к AB обозначена как M. Также обозначим середину стороны AB как N.
Так как ABCD — прямоугольник, то его диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O. Также, так как ABCD — прямоугольник, то углы A и C, а также углы B и D, являются прямыми.
Так как OM перпендикулярен к AB, то угол OMB также является прямым. Также, так как NM является средней линией треугольника ABC, то AN = NB.
Рассмотрим треугольник OMB. Так как угол OMB прямой, то OM является гипотенузой прямоугольного треугольника OMB. Также, так как ON является серединой AB, то AN = NB, то есть ON является высотой треугольника ABC, опущенной на AB.
Таким образом, мы получили, что OM является гипотенузой прямоугольного треугольника OMB, а ON является высотой треугольника ABC, опущенной на AB. Так как AN = NB, то треугольник ABC является равнобедренным, а значит, высота ON является средней линией треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AB, является средней линией треугольника ABC.
