Вопрос школьника
Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точки, принадлежащей биссектрисе угла, на его стороны, равны.
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC, в котором точка D лежит на биссектрисе угла BAC и опущены перпендикуляры DE и DF на стороны AB и AC соответственно.
Требуется доказать, что DE = DF.
Рассмотрим треугольники ADE и ADF.
Они имеют общий угол A и по условию перпендикуляры DE и DF являются высотами, опущенными из вершины A.
Таким образом, треугольники ADE и ADF являются подобными.
Из подобия треугольников следует, что отношение сторон AD и AE равно отношению сторон AD и AF:
AD/AE = AD/AF
Отсюда следует, что AE = AF.
Таким образом, перпендикуляры DE и DF, опущенные из точки D на стороны AB и AC соответственно, равны.
Доказательство завершено.
