Вопрос школьника
Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей ромба к его сторонам, равны.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим ромб ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Проведем перпендикуляры OE и OF из точки O к сторонам AB и CD соответственно (см. рисунок).
[insert image]
Для доказательства равенства перпендикуляров OE и OF рассмотрим треугольники AOE и DOF. Они равны по двум сторонам и углу между ними, так как:
1. AO = DO, так как это общая сторона ромба;
2. OE = OF, так как они являются высотами треугольников AOB и COD, соответственно;
3. Угол AOE = угол DOF, так как они являются вертикальными углами.
Таким образом, треугольники AOE и DOF равны, а значит, их высоты OE и OF равны. Следовательно, перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей ромба к его сторонам, равны.
