Вопрос школьника
Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим правильную пирамиду с основанием в виде правильного многоугольника и вершиной, лежащей на перпендикуляре, опущенном из центра основания на плоскость, содержащую основание.
Пусть сторона основания равна a, а число сторон n. Тогда периметр основания равен P = na.
Апофема пирамиды — это расстояние от вершины до центра основания. Обозначим его буквой h.
Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Она является равнобедренным треугольником со сторонами a и h. Пусть угол между этими сторонами равен α.
Тогда площадь этой грани равна S1 = (1/2)ahsinα.
Так как пирамида правильная, то все боковые грани равны между собой и углы между сторонами равны. Поэтому сумма площадей всех боковых граней равна:
S = nS1 = (1/2)nahsinα.
Но sinα = h/√(h² + (a/2)²), так как в треугольнике со сторонами a, a и h биссектриса угла между сторонами a имеет длину √(h² + (a/2)²).
Подставляя это выражение для sinα в формулу для S, получаем:
S = (1/2)nah(h/√(h² + (a/2)²)) = (1/2)P(h/2) = (1/2)Ph,
где мы использовали то, что h/2 — это высота равнобедренного треугольника со сторонами a/2, a/2 и h.
Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
