Вопрос школьника
Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим прямую призму с основанием в виде многоугольника. Пусть этот многоугольник имеет n сторон, а длина каждой стороны равна a. Тогда периметр основания равен P = na.
Рассмотрим одну из боковых граней призмы. Она является параллелограммом со сторонами, равными боковому ребру и высоте призмы. Пусть высота призмы равна h, а боковое ребро равно b. Тогда площадь этой боковой грани равна S1 = bh.
Так как призма имеет n боковых граней, то суммарная площадь боковых граней будет равна S = nS1 = nbh.
Осталось заметить, что высота призмы h равна высоте параллелограмма, то есть расстоянию между параллельными сторонами. Но так как боковая сторона параллелограмма равна боковому ребру призмы, то высота h также равна расстоянию между боковыми гранями призмы. Таким образом, боковое ребро b является основанием равнобедренной трапеции, высота которой равна h.
Из свойств равнобедренной трапеции следует, что боковое ребро b равно среднему линейному размеру оснований, то есть b = (a1 + a2)/2, где a1 и a2 — длины оснований трапеции.
Таким образом, мы получили, что b = (a1 + a2)/2 = a, то есть боковое ребро равно длине стороны основания. Подставляя это в выражение для площади боковых граней, получаем S = nbh = na*b = P*b.
Таким образом, мы доказали, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро.
