Вопрос школьника
Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле S = корень(p -a)(p -b)(p -c)(p-d), где р — полупериметр, а, b, с, d — стороны четырёхугольника.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим четырехугольник, вписанный в окружность. Такой четырехугольник называется описанным, если все его вершины лежат на окружности. В этом случае, диагонали четырехугольника будут являться диаметрами окружности.
Таким образом, мы можем разбить описанный четырехугольник на четыре треугольника, каждый из которых будет прямоугольным. Для каждого треугольника мы можем вычислить его площадь по формуле S = 0.5 * a * b, где a и b — это длины катетов треугольника.
Теперь, чтобы вычислить площадь всего четырехугольника, нам нужно сложить площади всех четырех треугольников. Таким образом, мы получим:
S = S1 + S2 + S3 + S4
где S1, S2, S3 и S4 — это площади каждого из четырех треугольников.
Для каждого треугольника мы можем выразить длины его сторон через стороны четырехугольника. Например, для треугольника, образованного сторонами a, b и d, мы можем записать:
p = (a + b + d) / 2
S1 = корень(p — a)(p — b)(p — d)
Аналогично, мы можем выразить площади остальных треугольников:
S2 = корень(p — b)(p — c)(p — d)
S3 = корень(p — a)(p — c)(p — d)
S4 = корень(p — a)(p — b)(p — c)
Теперь, подставляя выражения для S1, S2, S3 и S4 в формулу для S, мы получим:
S = корень(p — a)(p — b)(p — d) + корень(p — b)(p — c)(p — d) + корень(p — a)(p — c)(p — d) + корень(p — a)(p — b)(p — c)
Это и есть формула, которую нужно доказать. Она позволяет вычислить площадь описанного четырехугольника по длинам его сторон.
