Вопрос школьника
Докажите, что площадь квадрата ABCD равна полови не квадрата длины его диагонали, т. е. S ABCD = 1/2АС2 = 1/2BD2 (рис. 78, а).
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой площади квадрата: S = a^2, где a — длина стороны квадрата.
Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a и диагональю AC (рис. 78, а). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ACD имеем:
AC^2 = AD^2 + CD^2
Так как AD = CD = a (так как это квадрат), то:
AC^2 = 2a^2
Отсюда следует, что:
a^2 = AC^2/2
То есть площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
Аналогично, для квадрата ABCD со стороной a и диагональю BD (рис. 78, б) можно получить:
BD^2 = AB^2 + AD^2
Так как AB = AD = a, то:
BD^2 = 2a^2
Отсюда следует, что:
a^2 = BD^2/2
То есть площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
Таким образом, мы доказали, что площадь квадрата ABCD равна половине квадрата длины его диагонали, то есть S ABCD = 1/2АС^2 = 1/2BD^2.
