Вопрос школьника
Докажите, что площадь квадрата, сторона которого равна катету равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, сторона которого равна высоте этого треугольника, проведённой к гипотенузе
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами a, a и c (где c — гипотенуза). По теореме Пифагора, c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. Также, из определения равнобедренного треугольника, высота h, проведенная к основанию a, будет также являться медианой и биссектрисой, а значит, разделит основание на две равные части. Таким образом, мы можем выразить h через a и c: h^2 = a^2 — (c/2)^2 = a^2 — a^2/2 = a^2/2.
Теперь рассмотрим два квадрата: один со стороной a (которая равна катету треугольника), а другой со стороной h (высоты, проведенной к гипотенузе). Площади этих квадратов будут соответственно равны S1 = a^2 и S2 = h^2 = a^2/2.
Теперь осталось доказать, что S1 = 2S2. Для этого, подставим выражение для h^2: S2 = a^2/2. Тогда, S1/S2 = (a^2)/(a^2/2) = 2. Значит, S1 = 2S2, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы доказали, что площадь квадрата, сторона которого равна катету равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, сторона которого равна высоте этого треугольника, проведённой к гипотенузе.
