Вопрос школьника
Докажите, что площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: S = rp, где p = (a+b+c+d) / 2 (рис. 64, а).
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим описанный четырёхугольник ABCD и его описанную окружность с центром O и радиусом R (рис. 64, а).
Заметим, что каждая сторона четырёхугольника является хордой описанной окружности. Также заметим, что каждый угол четырёхугольника является центральным углом этой окружности.
Теперь рассмотрим вписанную окружность четырёхугольника ABCD с центром I и радиусом r (рис. 64, б).
Заметим, что каждая сторона четырёхугольника является касательной к вписанной окружности. Также заметим, что каждый угол четырёхугольника является половинным углом между двумя касательными, и, следовательно, является половинным центральным углом вписанной окружности.
Теперь рассмотрим отрезки AO и AI. Заметим, что они являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно. Также заметим, что они являются высотами треугольников ABO и ABI.
По формуле для площади треугольника, площадь треугольника ABO равна (1/2) * AO * AB, а площадь треугольника ABI равна (1/2) * AI * AB.
Сложим эти две формулы и получим:
S(ABO) + S(ABI) = (1/2) * AB * (AO + AI)
Заметим, что AO + AI равно диаметру вписанной окружности, то есть 2r. Также заметим, что AB равно полупериметру четырёхугольника, то есть p = (a+b+c+d) / 2.
Тогда получаем:
S(ABO) + S(ABI) = rp
Но S(ABO) + S(ABI) равно площади четырёхугольника ABCD, так как каждый из этих треугольников является частью четырёхугольника.
Таким образом, мы получаем:
S = rp
что и требовалось доказать.
