Вопрос школьника
Докажите, что площадь S правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, можно найти по формуле S = 3√3/2 R2.
Ответ от учителя
Для доказательства данной формулы нам понадобится знание о свойствах правильного шестиугольника и окружности.
Правильный шестиугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы равны 120 градусам.
Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от центра окружности. Радиус окружности — это расстояние от центра до любой точки на окружности.
Для начала, найдем длину стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R. Для этого воспользуемся свойством правильного шестиугольника, что радиус описанной окружности равен длине стороны, умноженной на √3. Таким образом, длина стороны правильного шестиугольника равна R√3.
Теперь разобьем правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, каждый из которых имеет угол в вершине 120 градусов. Рисуем высоту треугольника, которая делит его на два равнобедренных треугольника со сторонами R, R√3/2 и R√3/2.
Таким образом, мы получили равнобедренный треугольник со сторонами R, R√3/2 и R√3/2. Найдем его площадь по формуле S = 1/2 * основание * высота. Основание равно R, а высота — R√3/2. Подставляем значения и получаем S = 1/2 * R * R√3/2 = R2√3/4.
Так как правильный шестиугольник состоит из 6 таких треугольников, то его площадь равна 6 * R2√3/4 = 3√3/2 R2.
Таким образом, мы доказали, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R, можно найти по формуле S = 3√3/2 R2.
