Вопрос школьника
Докажите, что площадь S произвольного четырёхугольника со сторонами а, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству S<1>
Ответ от учителя
Для доказательства неравенства S<1> необходимо воспользоваться формулой площади произвольного четырехугольника:
S = 1/2 * (a*d*sin(α) + b*c*sin(β))
где α и β — углы между соответствующими сторонами.
Так как синус угла не превышает единицу, то можно записать:
S <= 1/2 * (a*d + b*c) Далее, применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получаем: S <= 1/2 * (a*d + b*c) <= 1/2 * ((a+d)/2 * (b+c)/2) = 1/4 * (a+b+c+d)^2 Таким образом, мы доказали, что площадь произвольного четырехугольника не превышает четверти квадрата суммы его сторон. Из этого следует, что S<1>, то есть площадь четырехугольника всегда меньше единицы.
