Вопрос школьника
Докажите, что площадь трапеции ABCD равна произведению длины боковой стороны AB и перпендикуляра, проведенного из середины стороны CD к прямой AB
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующей схемой:
1. Проведем высоту CE из вершины C на сторону AB.
2. Проведем высоту DF из вершины D на сторону AB.
3. Обозначим длину стороны CD как h.
4. Обозначим длину боковой стороны AB как b.
5. Обозначим длину перпендикуляра, проведенного из середины стороны CD к прямой AB, как m.
Тогда по определению трапеции:
1. Стороны AB и CD параллельны.
2. Стороны BC и AD пересекаются в точке E.
3. Стороны AB и CD не равны.
Также заметим, что треугольники CDE и DAF подобны, так как у них соответственные углы равны (угол CDE равен углу DAF, так как они оба прямые, а угол CED равен углу ADF, так как они оба вертикальные). Поэтому:
1. CE/DF = CD/AD (по свойству подобных треугольников).
2. CE + DF = AB (по свойству трапеции).
Из первого уравнения выразим AD:
AD = CD * DF / CE
Подставим это выражение во второе уравнение:
CE + DF = AB
CE + CE * AD / CD = b
CE * (1 + AD / CD) = b
CE = b * CD / (CD + AD)
Теперь можем выразить площадь трапеции через высоту CE:
S = (AB + CD) * CE / 2
S = (b + h) * (b * CD / (CD + AD)) / 2
S = b * h / 2
Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции ABCD равна произведению длины боковой стороны AB и перпендикуляра, проведенного из середины стороны CD к прямой AB.
