Вопрос школьника
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника ABCD равна половине произведения длин d1 и d2 его диагоналей на синус угла φ между ними, т. е. Sabcd 1/2d1d2 sinφ (рис. 69, в).
Ответ от учителя
Для доказательства данной формулы воспользуемся следующими свойствами:
1. Площадь треугольника равна половине произведения длин его основания и высоты, опущенной на это основание.
2. Диагональ четырёхугольника делит его на два треугольника.
3. Сумма углов внутри четырёхугольника равна 360 градусов.
Рассмотрим четырёхугольник ABCD и его диагонали AC и BD. Они делят четырёхугольник на два треугольника: ABD и BCD.
По свойству 1 площадь треугольника ABD равна половине произведения длин его основания AB и высоты h, опущенной на это основание. Аналогично, площадь треугольника BCD равна половине произведения длин его основания BC и высоты h.
Так как высота h обоих треугольников равна расстоянию между диагоналями AC и BD, то можно записать:
SABD = 1/2 * AB * h
SBCD = 1/2 * BC * h
Суммируя эти две формулы, получаем:
SABCD = SABD + SBCD = 1/2 * AB * h + 1/2 * BC * h
Заметим, что AB и BC являются сторонами четырёхугольника, а h — расстоянием между его диагоналями. Поэтому можно записать:
AB = d1 * sin(φ/2)
BC = d2 * sin(φ/2)
где d1 и d2 — длины диагоналей, а φ — угол между ними.
Подставляя эти выражения в формулу для площади четырёхугольника, получаем:
SABCD = 1/2 * AB * h + 1/2 * BC * h = 1/2 * h * (AB + BC) = 1/2 * h * (d1 * sin(φ/2) + d2 * sin(φ/2)) = 1/2 * h * d1d2 * sin(φ/2) / cos(φ/2) = 1/2 * d1d2 * sin(φ)
Последний переход основан на том, что sin(φ/2) / cos(φ/2) = tan(φ/2), а h = d1d2 * tan(φ/2).
Таким образом, мы доказали, что площадь выпуклого четырёхугольника ABCD равна половине произведения длин его диагоналей d1 и d2 на синус угла φ между ними.
