Вопрос школьника
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Ответ от учителя
Для доказательства данной формулы воспользуемся следующими свойствами:
1. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
2. Диагональ четырёхугольника делит его на два треугольника.
3. Сумма углов в выпуклом четырёхугольнике равна 360 градусов.
Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке O (см. рисунок).
По свойству 2, четырёхугольник ABCD можно разбить на два треугольника AOB и COD диагональю AC.
По свойству 1, площадь треугольника AOB равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. То есть:
S(AOB) = 0.5 * AB * OA * sin(BOA)
Аналогично, площадь треугольника COD равна:
S(COD) = 0.5 * CD * OD * sin(DOC)
Суммируя эти две формулы, получаем:
S(ABCD) = S(AOB) + S(COD) = 0.5 * AB * OA * sin(BOA) + 0.5 * CD * OD * sin(DOC)
Заметим, что угол BOA и угол DOC являются смежными и дополнительными, то есть их сумма равна 180 градусов. Тогда sin(BOA) = sin(DOC), и мы можем записать:
S(ABCD) = 0.5 * (AB * OA + CD * OD) * sin(BOA)
Но по свойству 3, угол BOA и угол COD являются смежными и дополнительными, то есть их сумма равна 180 градусов. Тогда sin(BOA) = sin(COD), и мы можем записать:
S(ABCD) = 0.5 * (AB * OA + CD * OD) * sin(COD)
Но диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то есть OA = OC и OB = OD. Подставляя это в предыдущую формулу, получаем:
S(ABCD) = 0.5 * AC * BD * sin(COD)
Таким образом, мы доказали, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
