Вопрос школьника
Докажите, что плоскость α, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если длины всех ребер тетраэдра равны 20 см
Ответ от учителя
Пусть тетраэдр $ABCD$ имеет ребра длины $20$ см. Пусть $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно, а $P$ — вершина тетраэдра, не лежащая в плоскости $ABC$. Требуется доказать, что плоскость $alpha$, проходящая через точки $M$, $N$ и $P$, параллельна ребру $AD$.
Рассмотрим векторы $overrightarrow{MP}$ и $overrightarrow{NP}$. Так как $M$ и $N$ — середины ребер, то $overrightarrow{MP} = frac{1}{2}overrightarrow{AB}$ и $overrightarrow{NP} = frac{1}{2}overrightarrow{BC}$. Таким образом, $overrightarrow{MP} + overrightarrow{NP} = frac{1}{2}(overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC}) = frac{1}{2}overrightarrow{AC}$.
Заметим, что вектор $overrightarrow{AD}$ является диагональю параллелограмма $ABCD$, поэтому $overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC}$. Таким образом, $overrightarrow{AD} = 2(overrightarrow{MP} + overrightarrow{NP})$.
Так как $overrightarrow{AD}$ равен удвоенной сумме векторов $overrightarrow{MP}$ и $overrightarrow{NP}$, то он параллелен плоскости $alpha$, проходящей через точки $M$, $N$ и $P$. Следовательно, плоскость $alpha$ параллельна ребру $AD$.
Найдем периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью $alpha$. Пусть $E$ и $F$ — точки пересечения плоскости $alpha$ с ребрами $AB$ и $BC$ соответственно. Так как $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $BC$, то $ME = EN = frac{1}{2}AB$ и $NF = FB = frac{1}{2}BC$. Также заметим, что треугольники $MEP$ и $NFP$ равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому $ME = NF$ и $angle MEP = angle NFP$. Таким образом, $EF = MP + NP = frac{1}{2}AC$.
Так как все ребра тетраэдра равны, то $AC = AD = BD = CD = 20$ см. Следовательно, $EF = frac{1}{2}AC = 10$ см. Периметр сечения тетраэдра плоскостью $alpha$ равен $2EF = 20$ см. Чтобы найти площадь сечения, нужно найти площадь треугольника $MEN$. Так как треугольник $MEN$ является медианной треугольника $ABC$, то его площадь равна половине площади треугольника $ABC$. Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле Герона:
$$
S_{ABC} = sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)},
$$
где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$. Так как все стороны треугольника $ABC$ равны, то $p = frac{3}{2}AB = frac{3}{2}BC = frac{3}{2}AC = 30$ см. Подставляя значения в формулу Герона, получаем:
$$
S_{ABC} = sqrt{30cdot 10cdot 10cdot 10} = 300text{ см}^2.
$$
Таким образом, площадь сечения тетраэдра плоскостью $alpha$ равна $frac{1}{2}S_{ABC} = 150$ см$^2$.
