Вопрос школьника
Докажите, что плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим две плоскости, пересекающиеся по прямой. Пусть эта прямая имеет направляющий вектор $vec{n}$.
Тогда любая точка на этой прямой может быть представлена как $vec{r} = vec{r_0} + tvec{n}$, где $vec{r_0}$ — произвольная точка на прямой, а $t$ — параметр.
Теперь рассмотрим плоскость, перпендикулярную этой прямой. Пусть ее нормальный вектор равен $vec{m}$.
Так как плоскость перпендикулярна прямой, то она должна содержать ее направляющий вектор $vec{n}$. То есть, $vec{m}$ должен быть перпендикулярен $vec{n}$.
Также, так как плоскость перпендикулярна прямой, то она должна содержать любую точку на этой прямой. В частности, она должна содержать точку $vec{r_0}$.
Таким образом, уравнение плоскости, перпендикулярной прямой, имеет вид $vec{m}cdot(vec{r}-vec{r_0})=0$.
Теперь докажем, что эта плоскость перпендикулярна каждой из двух данных плоскостей.
Пусть первая плоскость имеет нормальный вектор $vec{a}$, а вторая — нормальный вектор $vec{b}$.
Так как прямая пересечения этих плоскостей имеет направляющий вектор $vec{n}$, который перпендикулярен обоим нормальным векторам, то $vec{a}cdotvec{n}=0$ и $vec{b}cdotvec{n}=0$.
Теперь рассмотрим произвольную точку на первой плоскости $vec{r_1}$ и произвольную точку на второй плоскости $vec{r_2}$.
Так как плоскость, перпендикулярная прямой, содержит точку $vec{r_0}$, то она содержит и точки $vec{r_1}$ и $vec{r_2}$.
Тогда, подставляя эти точки в уравнение плоскости, получаем:
$vec{m}cdot(vec{r_1}-vec{r_0})=0$
$vec{m}cdot(vec{r_2}-vec{r_0})=0$
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
$vec{m}cdot(vec{r_2}-vec{r_1})=0$
Таким образом, плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и к каждой из двух данных плоскостей.
