Вопрос школьника
Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Ответ от учителя
Центральная симметрия плоскости — это отображение каждой точки плоскости в ее симметричную относительно некоторой точки, называемой центром симметрии.
а) Рассмотрим прямую, не проходящую через центр симметрии. Пусть точка А лежит на этой прямой, а точка В — ее симметричная относительно центра симметрии. Так как прямая не проходит через центр симметрии, то точки А и В не лежат на одной прямой, а значит, отрезок АВ не проходит через центр симметрии.
По определению центральной симметрии, отображение точки А на точку В происходит по прямой, проходящей через центр симметрии. Таким образом, отрезок АВ пересекает прямую, проходящую через центр симметрии, под прямым углом.
Теперь рассмотрим отображение прямой, на которой лежит отрезок АВ. Каждая точка этой прямой отображается на симметричную ей относительно центра симметрии точку, которая также лежит на этой прямой. Таким образом, прямая отображается на параллельную ей прямую, так как все точки на первой прямой сохраняют свои расстояния до центра симметрии и, следовательно, сохраняют свои расстояния до отображенных точек на второй прямой.
б) Рассмотрим прямую, проходящую через центр симметрии. Пусть точка А лежит на этой прямой, а точка В — ее симметричная относительно центра симметрии. Так как прямая проходит через центр симметрии, то точки А и В лежат на одной прямой, а значит, отрезок АВ проходит через центр симметрии.
По определению центральной симметрии, отображение точки А на точку В происходит по прямой, проходящей через центр симметрии. Таким образом, отрезок АВ совпадает с прямой, на которую он отображается.
Теперь рассмотрим отображение прямой, на которой лежит отрезок АВ. Каждая точка этой прямой отображается на симметричную ей относительно центра симметрии точку, которая также лежит на этой прямой. Таким образом, прямая отображается на себя, так как все точки на первой прямой сохраняют свои расстояния до центра симметрии и, следовательно, сохраняют свои расстояния до отображенных точек на этой же прямой.
Таким образом, при центральной симметрии плоскости прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую, а прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
