Вопрос школьника
Докажите, что при делении натурального числа р на натуральное число q (q>1) получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, состоящим не более чем из (q- 1) цифры.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим деление натурального числа р на натуральное число q (q>1). Пусть при делении получается частное a и остаток b, тогда:
р = aq + b
Для удобства представим частное a в виде суммы двух чисел: целой части частного и дробной части частного. Обозначим целую часть частного как n, а дробную часть как d:
a = n + d
Тогда:
р = (n + d)q + b
р = nq + dq + b
dq = р — nq — b
Заметим, что при делении числа р на q остаток b может принимать значения от 0 до q-1. Также заметим, что при умножении любого числа на q десятичная запись числа сдвигается на одну позицию влево, а при делении на q — на одну позицию вправо.
Рассмотрим теперь дробную часть частного a. Пусть она начинается с цифры c1, затем следует цифра c2 и т.д. до цифры ck, после чего начинается период длины m. Тогда:
d = c1/10 + c2/100 + … + ck/10^k + (c1/10^(k+1) + c2/10^(k+2) + … + ck/10^(k+m))
Первая часть этой суммы представляет дробную часть частного до периода, а вторая часть — периодическую дробь.
Умножим обе части равенства dq = р — nq — b на 10^m:
dq*10^m = (р — nq — b)*10^m
dq*10^m = (nq + b)*10^m + (c1*10^m + c2*10^(m-1) + … + ck*10^(m-k+1) + c1*10^(m-k) + c2*10^(m-k-1) + … + ck)
Заметим, что первое слагаемое в правой части равенства — это целое число, а второе слагаемое — периодическая дробь с периодом длины m. Таким образом, мы получили, что произведение dq на 10^m также является суммой целого числа и периодической дроби с периодом длины m.
Теперь разделим обе части равенства на q*10^m:
d = (nq + b)/10^m + (c1/10^m + c2/10^(m+1) + … + ck/10^(m+k-1) + c1/10^(2m-k) + c2/10^(2m-k-1) + … + ck/10^(2m-k+m-1))/q
Первое слагаемое в правой части равенства — это целое число, а второе слагаемое — периодическая дробь с периодом длины m. Таким образом, мы получили, что дробная часть частного a является суммой целого числа и периодической дроби с периодом длины m.
Из этого следует, что при делении натурального числа р на натуральное число q (q>1) получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, состоящим не более чем из (q-1) цифры. Действительно, периодическая дробь может начинаться не с первой цифры после запятой, но в любом случае периодическая часть дробной части частного будет повторяться с некоторым периодом, который не может быть больше, чем q-1, так как остаток b при делении на q может принимать значения от 0 до q-1.
