Вопрос школьника
Докажите, что при любом целом значении m значение выражения m/3 + m^2/2 +m^3/6 является целым числом.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой для суммы первых n натуральных чисел:
1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
Заметим, что выражение m/3 + m^2/2 + m^3/6 можно переписать в следующем виде:
m/3 + m^2/2 + m^3/6 = (2m^3 + 3m^2 + m)/6
Теперь заметим, что числитель данной дроби является суммой первых трех натуральных чисел, умноженных на m^3:
2m^3 + 3m^2 + m = m^3 + (m^3 + 2m^2 + m) = m^3 + (m+1)m^2
Таким образом, мы получили, что:
m/3 + m^2/2 + m^3/6 = (m^3 + (m+1)m^2)/6 = (m(m+1)(m+2))/6
Заметим, что числитель данной дроби является произведением трех последовательных натуральных чисел, а значит, он делится на 6. Таким образом, мы доказали, что выражение m/3 + m^2/2 + m^3/6 является целым числом для любого целого m.
