Вопрос школьника
Докажите, что произведение тангенсов, а также произведение котангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно единице.
Ответ от учителя
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол A прямой. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, а тангенсы и котангенсы острых углов как tgA, tgB, tgC и ctgA, ctgB, ctgC соответственно.
Так как угол A прямой, то tgA = b/a и ctgA = a/b. Также, по теореме Пифагора, a^2 + b^2 = c^2.
Рассмотрим произведение тангенсов острых углов:
tgA * tgB = (b/a) * (c/b) = c/a
tgB * tgC = (c/b) * (a/c) = a/b
tgC * tgA = (a/c) * (b/a) = b/c
Учитывая, что a^2 + b^2 = c^2, можно записать:
tgA * tgB * tgC = (b/a) * (c/b) * (a/c) = 1
Таким образом, произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно единице.
Аналогично можно доказать, что произведение котангенсов острых углов также равно единице:
ctgA * ctgB = (a/b) * (b/c) = a/c
ctgB * ctgC = (b/c) * (c/a) = b/a
ctgC * ctgA = (c/a) * (a/b) = c/b
Используя теорему Пифагора, можно записать:
ctgA * ctgB * ctgC = (a/b) * (b/c) * (c/a) = 1
Таким образом, произведение котангенсов острых углов прямоугольного треугольника также равно единице.
