Вопрос школьника
Докажите, что прямая х + у = 2 является касательной к окружности (х- 1)2 + (у — 3)2 = 2, и найдите координаты точки касания.
Ответ от учителя
Для того чтобы доказать, что прямая х + у = 2 является касательной к окружности (х- 1)2 + (у — 3)2 = 2, необходимо показать, что уравнение прямой имеет единственную точку пересечения с окружностью и что в этой точке прямая касается окружности.
Для начала, решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности:
х + у = 2
(х- 1)2 + (у — 3)2 = 2
Раскроем скобки в уравнении окружности:
х2 — 2х + 1 + у2 — 6у + 9 = 2
Получим:
х2 + у2 — 2х — 6у + 8 = 0
Теперь решим систему методом подстановки. Из уравнения прямой выразим одну из переменных:
х = 2 — у
Подставим это выражение в уравнение окружности:
(2 — у)2 + (у — 3)2 = 2
Раскроем скобки:
4 — 4у + у2 + у2 — 6у + 9 = 2
Упростим:
2у2 — 10у + 11 = 0
Решим квадратное уравнение:
D = (-10)2 — 4 * 2 * 11 = 36
у1,2 = (10 ± √36) / 4 = 2.5, 1.5
Таким образом, у нас есть две точки пересечения прямой и окружности: (х = -0.5, у = 2.5) и (х = 1.5, у = 1.5).
Чтобы показать, что прямая является касательной к окружности, необходимо проверить, что в одной из этих точек прямая имеет единственную точку касания с окружностью. Для этого найдем уравнение касательной в точке (х = -0.5, у = 2.5).
Для начала, найдем уравнение касательной в общем виде. Для этого найдем производную уравнения окружности:
(х- 1)2 + (у — 3)2 = 2
2(х- 1) + 2(у — 3) * y’ = 0
y’ = (1 — х) / (у — 3)
Теперь найдем значение производной в точке (х = -0.5, у = 2.5):
y’ = (1 — (-0.5)) / (2.5 — 3) = 1.5
Таким образом, уравнение касательной в точке (х = -0.5, у = 2.5) имеет вид:
у — 2.5 = 1.5(х + 0.5)
Убедимся, что эта прямая имеет единственную точку касания с окружностью. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения касательной и уравнения окружности:
у — 2.5 = 1.5(х + 0.5)
(х- 1)2 + (у — 3)2 = 2
Подставим выражение для у из уравнения касательной в уравнение окружности:
(х- 1)2 + (1.5(х + 0.5) — 3)2 = 2
Раскроем скобки и упростим:
10.25х2 — 23х + 12.25 = 0
Решим квадратное уравнение:
D = (-23)2 — 4 * 10.25 * 12.25 = 0
х = 2.24
Таким образом, мы получили единственную точку пересечения прямой и окружности, что означает, что прямая х + у = 2 является касательной к окружности (х- 1)2 + (у — 3)2 = 2 в точке (х = 2.24, у = 0.76).
Ответ: прямая х + у = 2 является касательной к окружности (х- 1)2 + (у — 3)2 = 2 в точке (х = 2.24, у = 0.76).
