Вопрос школьника
Докажите, что прямая х + у = 5 является касательной к окружности (х — 3)2 + (у + 2)2 = 8, и найдите координаты точки касания.
Ответ от учителя
Для того чтобы доказать, что прямая х + у = 5 является касательной к окружности (х — 3)2 + (у + 2)2 = 8, необходимо показать, что уравнение прямой и уравнение окружности имеют единственную общую точку, то есть прямая касается окружности в этой точке.
Для начала, приведем уравнение прямой к виду y = -x + 5, чтобы было удобнее работать с уравнениями:
x + y = 5
y = -x + 5
Теперь подставим выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности:
(x — 3)2 + (y + 2)2 = 8
(x — 3)2 + (-x + 3)2 = 8
x2 — 6x + 9 + x2 — 6x + 9 = 8
2×2 — 12x + 10 = 0
x2 — 6x + 5 = 0
Решим это квадратное уравнение:
D = b2 — 4ac = (-6)2 — 4*1*5 = 16
x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (6 ± 4) / 2 = 5, 1
Таким образом, уравнение прямой и уравнение окружности имеют две общие точки: (5, 0) и (1, 4). Но мы ищем только одну точку касания, поэтому нужно определить, какая из этих точек является точкой касания.
Для этого найдем угловой коэффициент прямой в точке (5, 0):
y = -x + 5
y’ = -1
Теперь найдем угловой коэффициент касательной к окружности в точке (5, 0):
(x — 3)2 + (y + 2)2 = 8
2(x — 3) + 2(y + 2)y’ = 0
y’ = -(x — 3) / (y + 2)
Подставим координаты точки (5, 0):
y’ = -(5 — 3) / (0 + 2) = -1
Угловые коэффициенты прямой и касательной равны, значит, прямая х + у = 5 является касательной к окружности (х — 3)2 + (у + 2)2 = 8 в точке (5, 0).
Найдем координаты этой точки. Мы уже знаем, что x = 5. Подставим это значение в уравнение окружности:
(x — 3)2 + (y + 2)2 = 8
(5 — 3)2 + (y + 2)2 = 8
4 + (y + 2)2 = 8
(y + 2)2 = 4
y + 2 = ±2
y1 = 0, y2 = -4
Точки касания имеют координаты (5, 0) и (5, -4). Но мы ищем только одну точку касания, которая лежит на прямой х + у = 5. Точка (5, -4) не удовлетворяет этому условию, поэтому точка касания имеет координаты (5, 0).
