Вопрос школьника
Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB и CD — основания, а BC и AD — боковые стороны. Пусть точка пересечения диагоналей трапеции равна O, а точка пересечения продолжения боковых сторон — точка M.
Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ее диагонали AO и CO равны между собой, а также пересекаются в точке O под прямым углом. Также из равнобедренности трапеции следует, что боковые стороны BC и AD равны между собой.
Рассмотрим треугольник BOM. Так как точка M лежит на продолжении боковых сторон, то угол BOM прямой. Также, так как трапеция ABCD равнобедренная, то угол BMO равен углу ADO (так как AD и BC равны между собой). Аналогично, угол BOМ равен углу CDO. Таким образом, треугольники BOM и ADO, BOM и CDO подобны между собой по двум углам.
Из подобия треугольников BOM и ADO следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть, BM/AD = BO/AO. Аналогично, из подобия треугольников BOM и CDO следует, что BM/BC = BO/CO.
Следовательно, BM/AD = BM/BC, что означает, что AD = BC. Таким образом, мы доказали, что боковые стороны трапеции равны между собой.
Также, из подобия треугольников BOM и ADO следует, что BO/AD = BM/OD. Аналогично, из подобия треугольников BOM и CDO следует, что BO/BC = BM/OC.
Сложим эти два уравнения: BO/AD + BO/BC = BM/OD + BM/OC. Так как AD = BC, то BO/AD + BO/BC = 2BO/AD. Аналогично, BM/OD + BM/OC = 2BM/OE, где OE — середина диагонали AC.
Таким образом, мы получили, что 2BO/AD = 2BM/OE, то есть BO/AD = BM/OE. Но так как точка O — точка пересечения диагоналей трапеции, то OE является высотой треугольника AOC, а значит, BM является медианой этого треугольника. Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.
