Вопрос школьника
Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
Ответ от учителя
Рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD — основания, а AD и BC — боковые стороны. Пусть точка пересечения диагоналей трапеции равна O, а точка пересечения продолжений боковых сторон — точка M.
Так как AD и BC — боковые стороны трапеции, то они параллельны между собой. Следовательно, углы AOB и COD, образованные диагоналями трапеции, являются вертикальными и равны между собой.
Также, по свойству трапеции, углы A и B, а также углы C и D, являются смежными и дополнительными. Следовательно, углы AOB и COD также являются дополнительными.
Таким образом, углы AOB и COD равны между собой и являются дополнительными. Значит, треугольники AOM и DOM являются равнобедренными, так как у них равны основания AM и DM, а также равны углы AOM и DOM.
Следовательно, точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, а также на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Значит, прямая, проходящая через точку O и точку M, делит основания трапеции пополам.
