Вопрос школьника
Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами медиан тетраэдра.
Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром масс противоположной грани. Таким образом, точки пересечения медиан противоположных граней являются центрами масс этих граней.
Пусть A, B, C и D — вершины тетраэдра, а M, N, P и Q — точки пересечения медиан противоположных граней. Тогда прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан, будут иметь следующие уравнения:
ABM: (x — A₁) / (A₂ — A₁) = (y — B₁) / (B₂ — B₁) = (z — M₁) / (M₂ — M₁)
ACN: (x — A₁) / (A₂ — A₁) = (y — C₁) / (C₂ — C₁) = (z — N₁) / (N₂ — N₁)
ADP: (x — A₁) / (A₂ — A₁) = (y — D₁) / (D₂ — D₁) = (z — P₁) / (P₂ — P₁)
BCQ: (x — B₁) / (B₂ — B₁) = (y — C₁) / (C₂ — C₁) = (z — Q₁) / (Q₂ — Q₁)
Здесь A₁, A₂, B₁, B₂ и т.д. — координаты вершин и точек пересечения медиан.
Чтобы доказать, что все эти прямые пересекаются в одной точке, достаточно показать, что они все лежат в одной плоскости. Для этого можно воспользоваться свойством векторного произведения.
Векторное произведение двух векторов даёт вектор, перпендикулярный этим векторам. Таким образом, векторное произведение векторов AB и AC будет перпендикулярно плоскости ABC. Аналогично, векторное произведение векторов AB и AD будет перпендикулярно плоскости ABD.
Таким образом, векторное произведение векторов AB и AC можно использовать как нормаль к плоскости ABC, а векторное произведение векторов AB и AD — как нормаль к плоскости ABD. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, можно записать как:
n₁ · (r — A) = 0,
где n₁ — нормаль к плоскости ABC, r — произвольная точка на этой плоскости.
Аналогично, уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и D, можно записать как:
n₂ · (r — A) = 0,
где n₂ — нормаль к плоскости ABD.
Таким образом, чтобы доказать, что все прямые пересекаются в одной точке, достаточно показать, что точки пересечения плоскостей ABC и ABD лежат на всех этих прямых.
Точка пересечения плоскостей ABC и ABD может быть найдена как пересечение прямых, проходящих через точки M и N, и прямых, проходящих через точки P и Q. Эти прямые можно найти как пересечение плоскостей, проходящих через точки A, B и M, A, C и N, A, D и P, B, C и Q.
Таким образом, мы получаем систему из четырёх уравнений, которую можно решить методом Крамера. Если решение этой системы существует и единственно, то это будет точка пересечения всех прямых.
Таким образом, мы доказали, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке.
