Вопрос школьника
Докажите, что прямые, заданные уравнениями a1 х + b1 у + с1 = 0, а2х + b2у + с2 = 0, пересекаются в том и только том случае, когда а1 ∙ b2 ≠ а2 ∙ b1
Ответ от учителя
Для начала рассмотрим случай, когда прямые пересекаются. Пусть точка пересечения имеет координаты (x0, y0). Тогда подставим их в уравнения прямых и получим систему уравнений:
a1x0 + b1y0 + c1 = 0
a2x0 + b2y0 + c2 = 0
Решим эту систему методом Крамера. Для этого выразим x0 и y0 через определители:
x0 = (b1c2 — b2c1) / (a1b2 — a2b1)
y0 = (a2c1 — a1c2) / (a1b2 — a2b1)
Если определитель знаменателя равен нулю, то система не имеет решений, то есть прямые не пересекаются. Если же определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение, то есть прямые пересекаются.
Теперь докажем обратное утверждение. Пусть а1 ∙ b2 ≠ а2 ∙ b1. Тогда рассмотрим два случая:
1. a1b2 > a2b1. Тогда определитель знаменателя (a1b2 — a2b1) > 0. Это значит, что x0 и y0 имеют одинаковый знак. То есть точка пересечения лежит по одну сторону от обеих прямых. Следовательно, прямые не пересекаются.
2. a1b2 < a2b1. Тогда определитель знаменателя (a1b2 - a2b1) < 0. Это значит, что x0 и y0 имеют разный знак. То есть точка пересечения лежит по разные стороны от обеих прямых. Следовательно, прямые пересекаются. Таким образом, мы доказали, что прямые, заданные уравнениями a1 х + b1 у + с1 = 0, а2х + b2у + с2 = 0, пересекаются в том и только том случае, когда а1 ∙ b2 ≠ а2 ∙ b1.
