Вопрос школьника
Докажите, что равные хорды окружности одинаково удалены от центра окружности и, наоборот, если хорды окружности одинаково удалены от её
Ответ от учителя
центра, то они равны.
Для доказательства первой части утверждения рассмотрим две равные хорды AB и CD окружности с центром O. Проведем радиусы AO и CO, которые являются одновременно и высотами треугольников AOB и COD. Так как AB=CD, то треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне AO, CO и углу O). Следовательно, высоты этих треугольников равны, то есть точки B и D находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности O.
Для доказательства второй части утверждения предположим, что хорды AB и CD одинаково удалены от центра окружности O. Проведем радиусы AO и BO, CO и DO. Так как точки B и D находятся на одинаковом расстоянии от центра O, то радиусы AO и BO равны радиусам CO и DO соответственно. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне AO, BO и углу O). Следовательно, AB=CD.
Таким образом, мы доказали, что равные хорды окружности одинаково удалены от центра окружности и, наоборот, если хорды окружности одинаково удалены от её центра, то они равны.
