Вопрос школьника
Докажите, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника. Пусть АВСDЕ — правильный n-угольник, АА1 = А1В, ВВ1 = В1С и т.д
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что если мы соединим вершины правильного n-угольника АВСDЕ с серединами его сторон, то получим еще один правильный n-угольник. Действительно, каждая сторона и каждый угол этого нового многоугольника будут равны соответствующим сторонам и углам исходного многоугольника.
Теперь докажем, что середины сторон исходного правильного n-угольника АВСDЕ действительно являются вершинами этого нового правильного n-угольника.
Пусть АА1 = А1В, ВВ1 = В1С и т.д. Тогда, так как АВСDЕ — правильный n-угольник, то все его стороны равны между собой, то есть АВ = ВС = СD = DE = ЕА. Кроме того, углы этого многоугольника равны между собой, то есть ∠А = ∠В = ∠С = ∠D = ∠Е = (n-2)π/n.
Рассмотрим теперь треугольник АА1В. Он равнобедренный, так как АА1 = А1В, и угол между его боковыми сторонами равен ∠А1В = π/n (так как А1В — это одна из сторон нового правильного n-угольника, а угол между его боковыми сторонами равен 2π/n). Значит, угол между сторонами АА1 и А1В равен (π — ∠А1В)/2 = (n-2)π/2n.
Аналогично, угол между сторонами ВВ1 и В1С равен (n-2)π/2n, угол между сторонами СС1 и С1D равен (n-2)π/2n, угол между сторонами DD1 и D1Е равен (n-2)π/2n, и угол между сторонами ЕЕ1 и Е1А равен (n-2)π/2n.
Таким образом, углы между сторонами нового правильного n-угольника, образованного серединами сторон исходного правильного n-угольника, равны между собой и равны (n-2)π/2n. Значит, этот новый многоугольник действительно является правильным n-угольником.
Таким образом, мы доказали, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника.
