Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть M, N и P — середины сторон BC, AC и AB соответственно.
Для начала заметим, что треугольник ABC и треугольник MNP подобны. Действительно, стороны треугольника MNP равны половинам соответствующих сторон треугольника ABC, поэтому они пропорциональны. Кроме того, углы при вершинах M, N и P равны соответствующим углам треугольника ABC, так как они являются углами, образованными медианами.
Таким образом, треугольник MNP подобен треугольнику ABC с коэффициентом пропорциональности 1/2. Это означает, что сторона NP равна половине стороны AC, то есть NP = 1/2 AC. Аналогично, сторона MP равна половине стороны AB, то есть MP = 1/2 AB.
Теперь заметим, что треугольник MNP также является равнобедренным. Действительно, стороны NP и MP равны соответственно половинам сторон AC и AB, а значит, они равны между собой. Кроме того, угол NMP равен углу BAC, так как они являются вертикальными углами.
Таким образом, мы доказали, что треугольник MNP является равнобедренным, причем его стороны равны половинам соответствующих сторон треугольника ABC. А это означает, что треугольник MNP является подобным треугольнику ABC с коэффициентом пропорциональности 1/2.
Из этого следует, что углы при вершинах N и P равны соответствующим углам треугольника ABC, так как они являются углами, образованными медианами. Кроме того, стороны NP и MP равны соответственно половинам сторон AC и AB, а значит, они равны между собой. Таким образом, треугольник MNP является равнобедренным с вершиной в точке M.
Таким образом, мы доказали, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.
