Вопрос школьника
Докажите, что сферу можно вписать в:
а) куб;
б) правильную n-угольную пирамиду;
в) конус.
Ответ от учителя
а) Для того чтобы доказать, что сферу можно вписать в куб, нужно показать, что диаметр сферы не превышает длину ребра куба. Рассмотрим куб со стороной a. Диаметр сферы, вписанной в куб, равен длине диагонали куба, которая вычисляется по теореме Пифагора: d = √(a² + a² + a²) = √3a. Длина ребра куба равна a. Очевидно, что √3a ≤ a, следовательно, сферу можно вписать в куб.
б) Для того чтобы доказать, что сферу можно вписать в правильную n-угольную пирамиду, нужно показать, что диаметр сферы не превышает длину ребра пирамиды. Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду с высотой h и ребром a. Рассмотрим правильный n-угольник, основание которого является основанием пирамиды. Радиус описанной окружности этого n-угольника равен R = a/(2sin(π/n)). Диаметр сферы, вписанной в пирамиду, равен высоте пирамиды, умноженной на 2: d = 2h. Для того чтобы доказать, что d ≤ a, достаточно показать, что h ≤ R. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и биссектрисой угла основания. Этот треугольник является прямоугольным, поэтому h ≤ R, что и требовалось доказать.
в) Для того чтобы доказать, что сферу можно вписать в конус, нужно показать, что диаметр сферы не превышает диаметр основания конуса. Рассмотрим конус с высотой h и радиусом основания R. Диаметр сферы, вписанной в конус, равен высоте конуса, умноженной на 2: d = 2h. Диаметр основания конуса равен 2R. Для того чтобы доказать, что d ≤ 2R, достаточно показать, что h ≤ R. Рассмотрим треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса. Этот треугольник является прямоугольным, поэтому h ≤ R, что и требовалось доказать.
