Вопрос школьника
Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1/4
площади данного
Ответ от учителя
треугольника.
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Обозначим его как AB, где A и B — середины сторон треугольника.
Чтобы доказать, что AB отсекает от треугольника треугольник, площадь которого равна 1/4 площади данного треугольника, нужно разделить треугольник на две части, используя AB в качестве основания.
Пусть C — вершина треугольника, противоположная стороне AB. Тогда проведем высоту CH из вершины C на сторону AB. Так как AB — средняя линия, то она делит сторону треугольника на две равные части, то есть AC = CB.
Также заметим, что треугольник ABC и треугольник ACH подобны, так как у них соответственные углы равны (угол АСН и угол АВС — прямые, угол АСВ и угол АНС — равны, так как это вертикальные углы). Поэтому соотношение сторон в этих треугольниках также равно: AC/AB = AB/CH.
Из этих двух равенств следует, что AC = 2CH и AB = 2AC. Таким образом, треугольник ABC разбивается на два треугольника: ACH и BCH, площади которых относятся как 1:3 (так как высота CH в 2 раза меньше стороны AB).
Треугольник ACH — это треугольник, отсекаемый средней линией AB. Его площадь равна 1/4 площади треугольника ABC, так как площадь треугольника BCH равна 3/4 площади треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1/4 площади данного треугольника.
