Вопрос школьника
Докажите, что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта А в пункт В со скоростью а из В в А со скоростью v2, меньше либо равна (v1 + v2)/2
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой для средней скорости:
средняя скорость = пройденное расстояние / затраченное время
Пусть расстояние между пунктами А и В равно d. Тогда время, за которое автобус проходит это расстояние в направлении от А к В, равно t1 = d / v1. А время, за которое он проходит это расстояние в направлении от В к А, равно t2 = d / v2.
Общее время движения автобуса в обоих направлениях будет равно сумме этих времен:
t = t1 + t2 = d / v1 + d / v2
Пройденное расстояние в обоих направлениях также будет равно d + d = 2d.
Тогда средняя скорость автобуса будет равна:
средняя скорость = пройденное расстояние / затраченное время = 2d / t = 2d / (d / v1 + d / v2)
Вынесем общий множитель d за скобки:
средняя скорость = 2 / (1 / v1 + 1 / v2)
Приведем дроби к общему знаменателю:
средняя скорость = 2 / ((v2 + v1) / (v1 * v2)) = 2 * v1 * v2 / (v1 + v2)
Таким образом, мы получили, что средняя скорость автобуса равна (2 * v1 * v2) / (v1 + v2).
Для того чтобы доказать, что данная скорость меньше или равна (v1 + v2) / 2, достаточно сравнить два выражения:
(2 * v1 * v2) / (v1 + v2) и (v1 + v2) / 2
Раскроем скобки во втором выражении:
(2 * v1 + 2 * v2) / 2 = v1 + v2
Таким образом, нам нужно доказать, что:
(2 * v1 * v2) / (v1 + v2) <= (v1 + v2) / 2 Умножим обе части неравенства на (v1 + v2): 2 * v1 * v2 <= (v1 + v2)^2 / 2 Упростим правую часть: 2 * v1 * v2 <= v1^2 + 2 * v1 * v2 + v2^2 / 2 Перенесем все слагаемые в левую часть: 0 <= v1^2 - 2 * v1 * v2 + v2^2 / 2 Умножим обе части неравенства на 2: 0 <= 2 * v1^2 - 4 * v1 * v2 + 2 * v2^2 Перенесем все слагаемые в правую часть: 4 * v1 * v2 <= 2 * v1^2 + 2 * v2^2 Разделим обе части неравенства на 2: 2 * v1 * v2 <= v1^2 + v2^2 Это неравенство верно, так как оно эквивалентно неравенству: (v1 - v2)^2 >= 0
Таким образом, мы доказали, что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта А в пункт В со скоростью v1 и из В в А со скоростью v2, меньше либо равна (v1 + v2) / 2.
