Вопрос школьника
Докажите, что сумма длин перпендикуляров, проведенных из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам, равна высоте этого треугольника. (Внутренняя область треугольника – это общая часть внутренних областей трех его углов.)
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной a и высотой h, проведенной из вершины A.
Пусть M – произвольная точка внутри треугольника ABC, из которой проведены перпендикуляры MD, ME и MF к сторонам AB, BC и AC соответственно.
Так как треугольник ABC равносторонний, то его высота h равна:
h = a * √3 / 2
Рассмотрим теперь треугольники AMD, BME и CMF.
Так как MD перпендикулярен стороне AB, то угол AMD прямой. Аналогично, угол BME и угол CMF также прямые.
Таким образом, треугольники AMD, BME и CMF являются прямоугольными.
Далее, заметим, что стороны этих треугольников равны соответственно:
AM = BM = CM = d
MD = ME = MF = h1
AD = BD = CD = h2
где d – расстояние от точки M до центра треугольника ABC, h1 – длина перпендикуляра, проведенного из точки M к стороне треугольника, а h2 – расстояние от точки M до стороны треугольника.
Таким образом, мы получили три прямоугольных треугольника с равными катетами и разными гипотенузами.
Из свойств прямоугольных треугольников следует, что гипотенуза каждого из этих треугольников равна:
√(d^2 + h1^2)
√(d^2 + h1^2)
√(d^2 + h1^2)
Суммируя эти выражения, получаем:
√(d^2 + h1^2) + √(d^2 + h1^2) + √(d^2 + h1^2) = 3√(d^2 + h1^2)
Заметим теперь, что расстояние от точки M до стороны треугольника равно:
h2 = 2/3 * h
Это следует из того, что точка M находится внутри треугольника, и ее расстояние до стороны треугольника пропорционально расстоянию от вершины треугольника до этой стороны.
Таким образом, мы получаем:
d^2 + h1^2 + h2^2 = d^2 + h1^2 + 4/9 * h^2
h2^2 = 4/9 * h^2
h1^2 = h^2 — h2^2 = 5/9 * h^2
Подставляя это выражение для h1 в формулу для суммы длин перпендикуляров, получаем:
3√(d^2 + h1^2) = 3√(d^2 + 5/9 * h^2) = √(9d^2 + 5h^2)
Заметим теперь, что расстояние от точки M до центра треугольника равно:
d = 1/3 * h
Это следует из того, что точка M находится внутри треугольника, и ее расстояние до центра треугольника пропорционально расстоянию от вершины треугольника до центра.
Таким образом, мы получаем:
√(9d^2 + 5h^2) = √(3h^2 + 5h^2) = √(8h^2) = 2h
Таким образом, мы доказали, что сумма длин перпендикуляров, проведенных из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам, равна высоте этого треугольника.
