Вопрос школьника
Докажите, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше суммы его диагоналей.
Ответ от учителя
Пусть у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD. Обозначим его стороны как AB, BC, CD и DA, а диагонали как AC и BD.
Так как четырехугольник является выпуклым, то его стороны не могут пересекаться. Это означает, что каждая сторона меньше суммы двух диагоналей, проходящих через противоположные вершины.
Например, для стороны AB мы можем записать:
AB < AC + BD Аналогично для сторон BC, CD и DA: BC < AB + AC CD < BC + BD DA < CD + AC Теперь сложим все эти неравенства: AB + BC + CD + DA < (AB + AC + BD) + (BC + AC + BD) + (CD + AC + BD) + (DA + AC + BD) Упрощая, получаем: AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD) Таким образом, мы доказали, что сумма всех сторон четырехугольника меньше, чем удвоенная сумма его диагоналей: AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD) Это и означает, что сумма двух противоположных сторон меньше суммы его диагоналей.
