Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим параллелепипед с ребрами a, b и c. Его диагонали можно найти с помощью теоремы Пифагора:
d1^2 = a^2 + b^2 + c^2
d2^2 = a^2 + b^2 + c^2
d3^2 = a^2 + b^2 + c^2
d4^2 = a^2 + b^2 + c^2
Теперь рассмотрим одно из ребер параллелепипеда, например, ребро a. Оно соединяет две вершины, каждая из которых лежит на двух диагоналях параллелепипеда. Таким образом, мы можем записать:
a^2 = (d1^2 + d2^2 — b^2 — c^2) / 2
a^2 = (d3^2 + d4^2 — b^2 — c^2) / 2
Теперь сложим квадраты всех ребер параллелепипеда:
a^2 + b^2 + c^2 = (d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2 — 2b^2 — 2c^2) / 2 + 2b^2 + 2c^2
a^2 + b^2 + c^2 = (d1^2 + d2^2 + d3^2 + d4^2 + 2b^2 + 2c^2) / 2
Таким образом, мы получили, что сумма квадратов двенадцати ребер параллелепипеда равна сумме квадратов его четырех диагоналей.
