Вопрос школьника
Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в 4 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер.
Ответ от учителя
Рассмотрим тетраэдр $ABCD$ и обозначим его ребра как $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$. Пусть $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ — середины ребер $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$ соответственно.
Тогда по теореме Пифагора для треугольника $ABM$ имеем:
$$AM^2 = AB^2/4 + BM^2$$
Аналогично для треугольников $ACN$, $ADP$, $BCQ$, $BDR$, $CDS$:
$$AN^2 = AC^2/4 + CN^2$$
$$AP^2 = AD^2/4 + DP^2$$
$$BQ^2 = BC^2/4 + CQ^2$$
$$BR^2 = BD^2/4 + DR^2$$
$$CS^2 = CD^2/4 + DS^2$$
Сложим все эти равенства и получим:
$$AM^2 + AN^2 + AP^2 + BQ^2 + BR^2 + CS^2 = (AB^2 + AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2)/4 + (BM^2 + CN^2 + DP^2 + CQ^2 + DR^2 + DS^2)$$
Заметим, что сумма квадратов ребер тетраэдра равна сумме квадратов длин отрезков $AM$, $AN$, $AP$, $BQ$, $BR$, $CS$. Также заметим, что отрезки $BM$, $CN$, $DP$, $CQ$, $DR$, $DS$ — это половины соответствующих диагоналей граней тетраэдра.
Таким образом, мы получили, что:
$$sum_{i=1}^6 (AB_i)^2 = 4sum_{i=1}^6 (MN_i)^2$$
где $AB_i$ — длина $i$-го ребра тетраэдра, $MN_i$ — длина отрезка, соединяющего середины противоположных ребер, лежащих на $i$-й грани тетраэдра.
Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов ребер тетраэдра в 4 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины его противоположных ребер.
