Вопрос школьника
Докажите, что сумма отрезков соединяющих середины противоположных сторон параллелограмма равна его полупериметру.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB || CD и AD || BC.
Пусть M и N — середины сторон AB и CD соответственно, а P и Q — середины сторон AD и BC соответственно.
Тогда отрезки MP и NQ являются диагоналями параллелограмма ABCD, и их пересечение точка O является его центром.
Также заметим, что отрезки MN и PQ являются параллельными сторонами параллелограмма, и их длины равны половине длин соответствующих сторон.
Теперь рассмотрим треугольники MOP и NOQ. Они являются равнобедренными, так как MP = OP и NQ = OQ (как серединные отрезки). Кроме того, у них равны углы OMP и ONQ, так как они соответственно вертикальные и параллельные.
Следовательно, треугольники MOP и NOQ подобны, и их соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
MO/NO = OP/OQ
MO = NO * OP/OQ
Аналогично, рассмотрев треугольники MNP и QNP, получим:
MN/PQ = MP/NQ
MN = PQ * MP/NQ
Теперь сложим полученные равенства:
MO + MN = NO * OP/OQ + PQ * MP/NQ
MO + MN = (NO * NQ + PQ * OP)/OQ
MO + MN = 2 * (NO + PQ)/2
MO + MN = полупериметр параллелограмма ABCD
Таким образом, мы доказали, что сумма отрезков соединяющих середины противоположных сторон параллелограмма равна его полупериметру.
