Вопрос школьника
Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника.
Пусть дан треугольник ABC и произвольная точка P, лежащая внутри него.
Тогда расстояние от точки P до вершины A равно отрезку AP, от точки P до вершины B — отрезку BP, а от точки P до вершины C — отрезку CP.
Сумма этих расстояний равна:
AP + BP + CP
Рассмотрим отрезки AB, BC и CA. По неравенству треугольника для каждой пары вершин выполняется:
AB < AP + BP BC < BP + CP CA < AP + CP Сложим все три неравенства: AB + BC + CA < 2(AP + BP + CP) Перенесем 2(AP + BP + CP) в левую часть: AB + BC + CA - 2(AP + BP + CP) < 0 Раскроем скобки: (AB - AP - CP) + (BC - BP - CP) + (CA - AP - BP) < 0 Учитывая, что AB + BC + CA = периметр треугольника, получаем: периметр треугольника - 2(AP + BP + CP) < 0 или периметр треугольника < 2(AP + BP + CP) Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
