Вопрос школьника
Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до всех его сторон равна высоте треугольника.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный равносторонний треугольник ABC и внутреннюю точку P.
Проведем из точки P перпендикуляры на каждую из сторон треугольника. Обозначим точки пересечения перпендикуляров с соответствующими сторонами как D, E и F.
Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны между собой. Обозначим длину любой из сторон как a.
Также заметим, что треугольники PBD, PCE и PAF являются прямоугольными, так как углы BPD, CPE и APF равны 90 градусов (перпендикуляры к сторонам).
Теперь рассмотрим сумму расстояний от точки P до сторон треугольника:
PD + PE + PF = BD*sin(60) + CE*sin(60) + AF*sin(60) (так как углы BPD, CPE и APF равны 60 градусов)
PD + PE + PF = a*sin(60) (так как BD = CE = AF = a)
PD + PE + PF = a*sqrt(3)/2
Таким образом, сумма расстояний от точки P до сторон треугольника равна высоте треугольника, которая равна a*sqrt(3)/2.
Доказательство завершено.
