Вопрос школьника
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до вершин данного многоугольника больше его полупериметра.
Ответ от учителя
Пусть дан многоугольник с вершинами A1, A2, …, An и произвольной точкой P внутри многоугольника. Расстояние от точки P до вершины Ai обозначим как di.
Тогда сумма расстояний от точки P до вершин многоугольника будет равна:
d1 + d2 + … + dn
Полупериметр многоугольника равен:
p = (a1 + a2 + … + an) / 2
где ai — длина стороны многоугольника.
Рассмотрим отрезок, соединяющий точку P с вершиной Ai. Этот отрезок является кратчайшим путем между точкой P и вершиной Ai. Таким образом, длина отрезка Pi не может быть меньше длины стороны AiBi, где Bi — соседняя вершина многоугольника.
Таким образом, мы можем записать неравенство:
di >= ai — 1 + ai
где ai-1 и ai — длины соседних сторон многоугольника.
Суммируя это неравенство для всех вершин многоугольника, получаем:
d1 + d2 + … + dn >= (a1 + a2 + … + an — n)
Заметим, что n — количество вершин многоугольника, а (a1 + a2 + … + an) — периметр многоугольника. Таким образом, мы можем переписать это неравенство как:
d1 + d2 + … + dn >= (периметр — 2n) / 2
Но 2n — это количество ребер многоугольника, а периметр равен сумме длин всех его ребер. Таким образом, мы можем переписать это неравенство как:
d1 + d2 + … + dn >= периметр / 2 — n
Но n — это количество вершин многоугольника, а периметр равен сумме длин всех его сторон. Таким образом, мы можем переписать это неравенство как:
d1 + d2 + … + dn >= периметр / 2 — количество вершин
Но количество вершин многоугольника всегда меньше его периметра, так как каждая вершина соединена не менее чем с двумя другими вершинами. Таким образом, мы можем заключить, что:
d1 + d2 + … + dn >= периметр / 2 — периметр / 2 = 0
Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от произвольной точки до вершин многоугольника больше его полупериметра.
