Вопрос школьника
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный равносторонний треугольник ABC и произвольную точку P внутри него.
Проведем из точки P перпендикуляры на каждую из сторон треугольника. Обозначим точки пересечения перпендикуляров с соответствующими сторонами как D, E и F.
Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны между собой. Обозначим длину каждой стороны как a.
Тогда расстояние от точки P до стороны AB равно PD, расстояние от точки P до стороны BC равно PE, а расстояние от точки P до стороны AC равно PF.
Заметим, что треугольники PAB, PBC и PAC являются прямоугольными, так как углы между перпендикулярами и соответствующими сторонами равны 90 градусов.
Также заметим, что каждый из этих треугольников подобен треугольнику ABC, так как углы при вершине P равны соответствующим углам треугольника ABC.
Из подобия треугольников следует, что отношение длины каждой из сторон треугольника PAB к соответствующей стороне треугольника ABC равно отношению расстояния от точки P до этой стороны к длине стороны ABC. Аналогично для треугольников PBC и PAC.
Таким образом, имеем:
PA/AB = PD/a
PB/BC = PE/a
PC/AC = PF/a
Умножим каждое из этих равенств на a и сложим полученные выражения:
PA + PB + PC = PD + PE + PF
Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от произвольной точки P до сторон равностороннего треугольника ABC является постоянной и равна периметру треугольника ABC.
