Вопрос школьника
Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой на основании равнобедренного треугольника, до прямых, содержащих его боковые стороны, равна высоте треугольника, проведенной к боковой стороне
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC. Пусть точка M на основании BC. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки M до прямых AB и AC равна высоте треугольника ABC, проведенной к стороне BC.
Проведем высоту BD из вершины B на сторону AC. Тогда треугольник ABD будет прямоугольным, а значит, BM=BD*cos(∠ABD). Аналогично, проведя высоту CE из вершины C на сторону AB, получим, что CM=CE*cos(∠ACE).
Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABD=∠ACE. Обозначим этот угол через α. Тогда BM=BD*cos(α) и CM=CE*cos(α).
Высота треугольника ABC, проведенная к стороне BC, равна h=BD*sin(α)=CE*sin(α).
Таким образом, сумма расстояний от точки M до прямых AB и AC равна BM+CM=BD*cos(α)+CE*cos(α)=sin(α)*(BD+CE)=h.
Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от точки, взятой на основании равнобедренного треугольника, до прямых, содержащих его боковые стороны, равна высоте треугольника, проведенной к боковой стороне.
