Вопрос школьника
а) Докажите, что существует прямая, которая пересекает каждое из двух противоположных рёбер правильного тетраэдра под прямым углом.
б) Существует ли такая прямая для любой правильной треугольной пирамиды?
Ответ от учителя
а) Рассмотрим правильный тетраэдр $ABCD$. Проведем высоты $AE$ и $BF$ из вершин $A$ и $B$ соответственно на грани $BCD$. Так как тетраэдр правильный, то $AE$ и $BF$ являются медианами и биссектрисами грани $BCD$ соответственно, а значит, пересекаются в точке $O$, являющейся центром описанной окружности треугольника $BCD$. Также заметим, что $AO$ и $BO$ являются высотами треугольников $ABD$ и $ABC$ соответственно. Таким образом, прямая $OB$ пересекает ребро $AD$ под прямым углом, а прямая $OA$ пересекает ребро $CD$ под прямым углом. Таким образом, прямая $OB$ пересекает ребро $CD$ под прямым углом, а прямая $OA$ пересекает ребро $AD$ под прямым углом. Таким образом, прямая, проходящая через точку $O$, пересекает каждое из двух противоположных ребер под прямым углом.
б) Для любой правильной треугольной пирамиды такой прямой не существует. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $ABCD$, в которой основание $ABC$ является равносторонним треугольником. Предположим, что существует прямая, которая пересекает каждое из двух противоположных ребер под прямым углом. Рассмотрим плоскость, проходящую через эту прямую и вершину $A$. Эта плоскость должна пересекать ребра $AB$ и $AC$ под прямым углом, а значит, она должна быть перпендикулярна к плоскости основания $ABC$. Но тогда она должна быть перпендикулярна и к ребру $BC$, что противоречит тому, что прямая пересекает ребро $BC$ под прямым углом. Таким образом, прямой, которая пересекает каждое из двух противоположных ребер под прямым углом, не существует.
