Вопрос школьника
Докажите, что точка пересечения диагоналей, точка пересечения боковых сторон и середины оснований произвольной трапеции принадлежат одной прямой
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника, которое гласит: «Прямая, проходящая через середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и ее длина равна половине длины этой стороны».
Рассмотрим произвольную трапецию ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны, M и N — середины оснований AB и CD соответственно, K — точка пересечения диагоналей AC и BD, L — точка пересечения боковых сторон BC и AD.
Проведем от точки K линию, параллельную боковой стороне BC, и от точки L линию, параллельную боковой стороне AD. Пусть эти линии пересекаются в точке P.
Так как KM и KN — медианы треугольника ABC, то они равны по длине и параллельны боковой стороне CD. Аналогично, ML и MN — медианы треугольника ACD, и они равны по длине и параллельны боковой стороне AB.
Из свойства о прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника, следует, что линия, проходящая через середины KM и ML, параллельна боковой стороне AD и равна ей в половину. Таким образом, точка P лежит на линии, проходящей через середины оснований AB и CD.
Также заметим, что треугольники KBC и LAD подобны, так как у них соответственные углы равны (угол BKC = угол DLA, угол KBC = угол LAD). Следовательно, отношение длин отрезков BK и KC равно отношению длин отрезков LA и AD. Но так как точки M и N являются серединами соответствующих отрезков AB и CD, то отношение длин отрезков BM и MC равно отношению длин отрезков DN и NC. Следовательно, точка P лежит на линии, проходящей через точку K и точку L.
Таким образом, мы доказали, что точка пересечения диагоналей, точка пересечения боковых сторон и середины оснований произвольной трапеции лежат на одной прямой.
