Вопрос школьника
Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C тогда и только тогда, когда для любой точки M имеет место равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA.
Ответ от учителя
Для начала, докажем, что если точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C, то равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA выполняется для любой точки M.
Пусть точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C. Тогда можно выбрать систему координат так, чтобы точка B имела координату 0. Тогда координаты точек A и C будут иметь одинаковый знак, и мы можем записать их как A = (-a, 0) и C = (c, 0), где a и c — положительные числа.
Теперь рассмотрим произвольную точку M с координатами (x, y). Тогда расстояния от точек M, A, B и C до оси OX можно выразить следующим образом:
MA2 = (x + a)2 + y2
MB2 = x2 + y2
MC2 = (x — c)2 + y2
Заметим, что AB = a, BC = c и CA = a + c. Тогда можно переписать равенство, которое нужно доказать, следующим образом:
MA2 * BC + MC2 * AB — MB2 * CA = (x + a)2 * c + (x — c)2 * a — x2 * (a + c) =
= (a2 + c2) * x + 2ac * (1 — x) = AB * BC * CA = ac(a + c)
Последнее равенство следует из того, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Таким образом, мы получили равенство, которое нужно было доказать.
Теперь докажем обратное утверждение: если для любой точки M выполняется равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA, то точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C.
Предположим, что точки A, B и C не лежат на одной прямой. Тогда можно выбрать систему координат так, чтобы точки A и C имели координаты (-a, 0) и (c, 0) соответственно, а точка B имела координату (0, b), где a, b и c — положительные числа.
Рассмотрим точку M с координатами (x, y). Тогда расстояния от точек M, A, B и C до оси OX можно выразить следующим образом:
MA2 = (x + a)2 + y2
MB2 = x2 + (y — b)2
MC2 = (x — c)2 + y2
Заметим, что AB = a, BC = b и CA = c. Тогда можно переписать равенство, которое должно выполняться для любой точки M, следующим образом:
MA2 * BC + MC2 * AB — MB2 * CA = (x + a)2 * b + (x — c)2 * a — (x2 + (y — b)2) * c =
= (a2 + b2 + c2) * x + 2ab * (1 — x) — 2bc * y + c2 — b2
Заметим, что коэффициент при x не равен нулю, так как точки A, B и C не лежат на одной прямой. Тогда мы можем выбрать такую точку M, чтобы левая часть равенства была отрицательной или положительной, в зависимости от знака коэффициента при x. Однако правая часть равна AB * BC * CA = abc, которое является положительным числом. Таким образом, равенство MA2 * BC + MC2 * AB — MB2 * CA = AB * BC * CA не может выполняться для любой точки M, если точки A, B и C не лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B лежит между точками A и C тогда и только тогда, когда для любой точки M имеет место равенство MA2 * BC + MC2 * AB – MB2 * CA = AB * BC * CA.
