Вопрос школьника
Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.
Ответ от учителя
Для доказательства подобия двух треугольников необходимо показать, что их соответствующие стороны пропорциональны, то есть отношение длин одной стороны к другой в обоих треугольниках одинаково.
Рассмотрим треугольник ABC и его середины сторон M, N и P. Проведем от точек M, N и P перпендикуляры на стороны треугольника ABC, обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с соответствующими сторонами как D, E и F соответственно.
Так как точки M, N и P являются серединами сторон треугольника ABC, то отрезки MD, NE и PF равны по длине отрезкам AD, BE и CF соответственно. Также, так как перпендикуляры, опущенные из середин сторон треугольника, делят эти стороны на две равные части, то отрезки AD, BE и CF также равны по длине отрезкам BD, EC и AF соответственно.
Из этих равенств следует, что треугольники MDE, NEF и PFC являются равнобедренными треугольниками, так как у них две стороны равны. Также, так как у треугольника ABC и треугольников MDE, NEF и PFC соответствующие углы равны (углы при вершинах D, E и F являются прямыми), то эти треугольники подобны.
Таким образом, треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.
